在一般印象中，「美」是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響，理工與人文，在普遍認知中是二元對立的。而數學，是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中，各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰，也許還隱隱約約帶有一絲美的影子，但冷冰冰的數學公式，在許多人的求學經驗中，與美根本就是互斥的概念。但有趣的是，歷史上很多數學家曾說過「數學真美」這樣的話。有些甚至會誇張到好像美是數學不可分割的一部分。
數學之美
著名的英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）較為大家熟知的事蹟是，他曾發掘了傳奇數學天才拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），也就是電影《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity）的故事。他在《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）這本書中說：「數學家的創造形式，與畫家及詩人一樣，必須是美的：將概念〔就像顏色及詞語〕以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件，醜陋無法長存於數學之中。」法國最偉大的數學家之一龐加萊（Henri Poincare）說：「研究自然不是因為有用，而是因為喜悅。而喜悅是因為美。」其他數學家如羅素（Bertrand Russell）、艾狄胥（Paul Erdos）也留下不少關於數學與美的金句。
數學之美，不只是偉大數學家能感受到。很多數學愛好者、數學工作者都有類似的體驗，只是比較不容易留下知名金句。丹妮卡．麥凱勒（Danica McKellar）也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家，但她說過一句很有意思的話：「數學是唯一一個真與美是同義詞的世界。」麥凱勒是一位美國演員，在 1980年代末、1990年代初的影集《兩小無猜》（The Wonder Years）中，她飾演鄰家女孩的角色，可以說是當年少年界的國民女友。後來她也在許多影集中演出，2010年開始，她是動畫影集《少年正義聯盟》中火星小姐的配音。
演員為什麼會與數學扯上關係呢？其實她大學就是學數學的，在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。她與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文，其中的主要結果被稱為Chayes-McKellar-Winn theorem。在2008年，她出了一本針對中學女孩的數學書 《Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.》，頗受好評也很暢銷，之後也接續出版了許多書。她表示，她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」，用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。
回到前面那句「數學是唯一一個真與美是同義詞的世界」。追求美是人之天性，但很多情境下，美或者美化這些詞，常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝（與素顏對比）、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀，真正美之極致，往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限，平庸普通還是多數，不然，也不會有「這裡的風景美得像幅畫」一樣的形容詞方式了。一般日常中，美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了，因為這句話如果成立，那在數學，也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。
數學與藝術的交會處
但問題是，數學家們感受到的美感是否真的是美？定理與證明真的可以用美或不美來形容呢？還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢？
2019年時，英國巴斯大學管理學院的Samuel G.B. Johnson及美國耶魯大學數學系的Stefan Steinerberger發表了一篇論文〈Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas〉，其中的研究證據，支持一般人可能也跟數學家一樣，能感受到數學論證的美感。他們發現，人們對數學的「美感」，就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似，有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判，跟與音樂、畫作美感一樣，和優雅性、深度、清楚性有關。
這個結果呼應了19世紀英國數學家詹姆斯．約瑟夫．西爾維斯特（James Joseph Sylvester）說的：「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說：「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩。」這句話出自他寫給埃米．諾特（Emmy Noether）的訃聞。諾特對抽象代數有極大的貢獻，巧妙利用升鏈條件來研究代數性質，這些手法極美，所以愛因斯坦才會在訃聞中這樣寫。
除了主觀上對於美的感受外，數學與藝術之間，也有很多直接的關聯性。比方音律就與對數（也就是大家所認識的log）有關。我們現在知道，和弦時，不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店，聽到鐵鎚打鐵的聲音，覺得很悅耳，他走入店裡，發現四個鐵鎚的重量比為 12：9：8：6，其中9是6與12的算術平均，8是6與12的調和平均，9、8與6、12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些發現，成為後來十二平均律的基礎。
數學與藝術當然不僅只與此。文藝復興時期的藝術家如布魯內萊斯基（Filippo Brunelleschi）、達文西、杜勒，利用及建立了許多像是透視、頭身比例、對稱這類幾何理論。牛頓用稜鏡實驗發現可見光譜，影響了歌德和龍格對色彩學的研究與應用。而艾雪（Maurits Escher）的錯覺藝術，也是一個著名的例子。即使艾雪的數學成績並不好，他的作品中包含了大量的幾何概念，挑戰觀者認知的界線。他與數學家波立雅（George Pólya）、潘洛斯（Sir Roger Penrose）、考克斯特（Harold Scott MacDonald Coxeter）都有交流影響。他在重複拼貼上，做了大量有系統的探索，紀錄在他的素描本上。數學家Schattschneider認為這些內容完全可以視為是數學研究。數學家潘洛斯曾與霍金共同發表了奇異點理論，也得到 2020 年的諾貝爾獎。他對艾雪的作品《樓梯之家（House of stairs）》深感興趣，進而發表了著名的潘洛斯樓梯（Penrose stairs）。這也啟發了艾雪創作《上下階梯（Ascending and Descending）》。最早發現這個錯視的其實是藝術家奧斯卡．路透斯沃德（Oscar Reutersvärd），只是當時潘洛斯及艾雪並不知道。而羅伯特．朗赫斯特（Robert Longhurst）受到最小曲面啟發的系列雕塑、數學家受到藝術啟發的計算摺紙理論、還有織工艾達．迪茲（Ada Dietz）的紡織代數模式，都是藝術與數學的交會處。
數學與音樂
另一個現象是，數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性，特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能大家認識的人中，也有一些同時精通數理及音樂的人。不少研究也發現發現了數理能力及音樂能力的相關性。但是，這個相關性會不會是一種錯覺呢？ 比方可能只是因為學科能力與學習音樂的條件，都受到家庭背景與社經地位的影響。
音樂教育學者Martin J. Bergee原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因，如種族、收入、教育背景，就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚，兩者的關聯性不但沒有消失，而且還非常強。在2021年他的研究團隊發表了一篇名為〈Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement〉的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生，在盡可能排除其他因素的干擾下，他們不得不承認音樂及數學能力之間有統計上顯著的關聯。因為實驗結果推翻了他原本的想法，這個結果讓他思考了很多，他推斷：「微觀技術來說，可能在音樂中的音準、音程、節拍，可能與語言認知的基礎相關，而巨觀技術上的調式與調性，可能在心理學或神經學上與數學認知有關。」
2015年神經科學家西米爾．澤基（Semir Zeki）及艾提亞爵士（Michael Atiyah，當代最偉大數學家之一，費爾茲獎得主）合作研究，用fMRI掃描15名數學家的腦部，發現數學家在評斷數學式子美感時，動用到眼額皮質外側的A1區域，與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。
拋開因為量產式教育造成的偏見，就能理解為何從古希臘開始就很自然將幾何中的黃金分割比與美連結，繪畫中也很自然與數學共同用到的透視原理、對稱性。可以說，美與數學並不是感性與理性的對立，而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰．濟慈（John Keats）所說：「美即是真，真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切。」而數學以及其背後的邏輯，就是人類對於「真」的具像。
人工智慧與藝術創造
如果承認藝術家可以藉由數學工具來創作，那人工智慧是否能創造藝術作品，至少在心理層面也就不是太難接受的事了。人工智慧遵照一些演算法運作，可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說，就是許多線性映射與激活函數的合成函數，藉由梯度下降法，收斂到的穩定數學解。既然人可以利用透視法、色彩學、幾何對稱，可以利用手繪版裡面複雜的筆刷、化學合成的顏料、不同材質的物理特性，甚至可以運用科技藝術來創造美，那又何嘗不能利用數學建構的人工智慧來創造藝術品呢？
生成模型是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本，設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講，就是給電腦看一些李白的詩，希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂，希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術，已經能讓人工智慧能藉由學習，「創造」出視覺、音訊及語言的「作品」。
2015年時，Google工程師Alexander Mordvintsev巧妙地利用事先訓練好的視覺分類模型，將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫DeepDream。不久後，Leon Gatys等人用類似的方法，設計一套演算法，能將風景、建築照片，轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究，一般稱為Neural Style Transfer。2016年Google利用AI生出的畫作，拍賣得到近十萬美元。而生成對抗網路（Generative Adversarial Network），是一個更廣泛而通用的生成模型。在一些領域中，已經能生出非常高品質的成品。Nvidia研究的StyleGAN系列模型，能生出幾可亂真的人臉。在手機上，已能使用APP將你的照片轉成迪士尼的畫風。
上述的技術也不是只能用在譁眾取寵的宣傳噱頭，或者是廉價的大眾娛樂上。荷蘭藝術博物館，就利用 AI 來修復林布蘭的畫作《夜巡》（Night Watch）。這幅畫創作於1642年，1715年為了放在阿姆斯特丹市政廳的兩扇門之間，四周做了剪裁，因此這些部份就遺失了。AI利用林布蘭的原作和被剪裁之前的臨摹作品，做出最佳猜測來還原。在還原的畫作中，能看到左側的三個人物，也能更容易理解整幅圖的完整視角。博物館的畫作與雕塑部門主任Pieter Roelofs說，還原後的畫作能讓我們更能了解林布蘭的創作想法。
英國的編舞家Wayne McGregor利用機器學習和人工智慧來探索人類動作的可能性。Google的藝術與文化實驗室與他合作，開發AI工具利用他25年來建立的資料，建立全新的肢體舞動動作。對於McGregor來說，最有意思的是這個AI 能夠學習並且模仿某個舞者的風格。他說：「這個工具神奇的地方在於它能捕捉到表演的本質。」Refik Anadol在世界各地展出大型的互動AI藝術。他的作品像是WDCH Dreams和Archive Dreaming，利用機器學習找出大量文件、多媒體之間的關聯性，藉此呈現或與使用者互動。科技藝術雕塑家Scott Eaton利用神經網路的生成模型來創作詭異而扭曲的人體雕塑。
真相的一角
在2021年的最新技術進展，是 OpenAI釋出了CLIP模型，這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用CLIP和文字控制，來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說，如果你畫了一張畫，或者拿到一張照片，你可以利用文字「更有喜感一點，更有亞洲風味一點」，來修改這張圖片讓人感受到「喜感」和「亞洲風」。在眾多嘗試中，很多電腦藝術愛好者試出了許多像「咒語」般的技巧，比方有個著名的「unreal engine trick」，就是當你在控制產生圖片的句子中，加入「unreal engine」這個詞（unreal engine是一個遊戲引擎），常常會產生品質更高的圖片。乍看之下有點不明所以，但仔細一想，因為網路上會特別標明unreal engine的圖片，往往是強調其遊戲高畫質，久而久之，CLIP看到這個詞，很自然就與高品質的含意產生連結。
但是，如果我們僅僅只是輸入一些語句，就產生了作品出來，那這些作品的創作者是我們呢？還是人工智慧呢？或者說，提供這些模型的工程師和科學家，才是真正的創作者？
下面的故事可以突顯這個問題的複雜性：2018年時，由生成對抗網路生成的畫作Edmond de Belamy，以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的？這幅畫是由巴黎藝術集體Obvious生成的。而名稱 Belamy的法語意思為「好朋友」，以致敬提出生成對抗網路的學者Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是：
這個數學式子，這個式子是生成對抗網路使用的目標函數，也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是，生成這幅圖片的程式碼，是由與Obvious毫無關係的另外一位AI藝術家Robbie Barrat所寫的。
所以，這幅畫到底是誰的創作呢？物理學家海森堡曾說，即使在沒有足夠證據的支持下，「當自然引導我們得到極簡與美的數學式時」，「我們會不由自主地感受到，這就是自然真相被揭露的一角」。也許，真正創作者不是人工智慧，也不是人類，我們只是自然的一部分，有幸釋放了，並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。
原文出自《典藏．今藝術&投資》第351期。
魏澤人( 1篇 )